Почему при оформлении заявления пишем "Заявление" или "заявление", но текст начинаем со слова "прошу"? Если уж заявление, то заявляю. Если просишь, то прошение. Нет? Я не прав?

Не/разрешённая учёным проблема. Скажите, здесь причастие с зависимым и поэтому раздельно? Или причастие в функции прилагательного и поэтому слитно?

Комната (на)половину пуста.