Комната (на)половину пуста.

Добрый день! В СМИ, документах и социальных сетях нередко встречаю, что пишут "Администрация города Омска", "Губернатор Омской области", "Министерство образования Омской области" - но "Губернатор" и "Администрация" разве должны быть написаны с заглавной буквы?

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, можно ли говорить и писать "со скрипом в зубах", а не только "скрипя зубами"?