Как правильно "курица" или "кура"?

На кухню или в кухню?

Почему при оформлении заявления пишем "Заявление" или "заявление", но текст начинаем со слова "прошу"? Если уж заявление, то заявляю. Если просишь, то прошение. Нет? Я не прав?