Здравствуйте! Скажите, пожалуйста, можно ли в неофициальном тексте писать в словосочетании «введение предмета ‘‘Основы духовно-нравственной культуры народов России’’» название предмета с большой буквы и в кавычках? Это ведь имя собственное и отличающийся случай от простых «предмет математика» или «предмет литература», не так ли? И какая история будет с написанием «введение предмета основы безопасности жизнедеятельности»?

Здравствуйте! В данном случае написание в кавычках и с большой буквы вполне правомерно: введение предмета ‘‘Основы духовно-нравственной культуры народов России’’, введение предмета "Основы безопасности жизнедеятельности». Употребление кавычек здесь уместно так же, как в случае с именами собственными, заключающимися в кавычки при наличии родового наименования. Написание без кавычек может выглядеть следующим образом: преподавание основ духовно-нравственной культуры; введение основ безопасности жизнедеятельности.