Скажите, пожалуйста, правильно с прописными или строчными буквами: перевод Р(р)оссийского Б(б)иблейского О(о)бщества?

Официальное название - Религиозная организация "Российское Библейское Общество". Такое написание (где каждое слово с прописной) отклоняется от нормы, при которой писать с заглавной буквы следовало бы только первое слово - Российское. Вам придется сохранить документально зафиксированное название.