Почему при оформлении заявления пишем "Заявление" или "заявление", но текст начинаем со слова "прошу"? Если уж заявление, то заявляю. Если просишь, то прошение. Нет? Я не прав?

Чтобы выяснить, правы Вы или нет, достаточно обратиться к толковому словарю.
ЗАЯВЛЕ́НИЕ, -я, ср.
1. Официальное сообщение в устной или письменной форме. Сделать з. для печати.
2. Письменная просьба о чём-н. Написать з. об отпуске. Резолюция на заявлении.
Второе значение слова дает нам право начинать заявление с глагола "прошу".